CONJUNTOS Y RELACIONES
INTRODUCCIÓN
Se denomina conjunto a la agrupación de entes o elementos, que poseen una o varias características en común. Para saber si un conjunto está bien definido habrá que atender a la siguiente regla: cuando la pertenencia de un elemento a un conjunto es clara, el conjunto estará bien definido.
Un conjunto es representado por una letra mayúscula, encerrándose sus elementos, separados por comas, entre llaves. Por ejemplo, el conjunto A, integrado por las vocales, se representaría así: A= {a, e, i, o, u}
Gráficamente se utiliza el diagrama de Venn, en homenaje a su creador, el británico John Venn, que son líneas circulares u ovoides cerradas, donde se disponen los elementos, señalados mediante puntos.
La teoría de conjuntos, en un primer momento, se ocupa del estudio de los conjuntos que se obtienen a partir de los axiomas, considerados como objetos amorfos desprovistos de cualquier tipo de estructura, mediante diferentes tipos de morfismos, relaciones y funciones parciales.
Siguiendo los principios categoriales, demostramos la existencia del exponencial de dos conjuntos, caracterizado por una cierta propiedad universal, que sirve, entre otras cosas, para poner de manifiesto que el concepto de función de dos o más variables, puede ser reducido al de función de una sola variable.
Una relación es una asociación entre elementos u objetos, generalmente de dos conjuntos arbitrarios. Una manera de formalizar el concepto y al mismo tiempo hacerlo práctico para usarse en computación es considerar una relación como un conjunto de pares ordenados.
Las relaciones son muy importantes en matemáticas y sobretodo en computación, pues vienen a ser una herramienta fundamental en Bases de Datos, Programación, etc.; casi en cualquier tópico de una u otra forma se utiliza el concepto de relación. El término relación es muy amplio y se puede conceptualizar en términos muy generales, pero la idea central es muy simple y entendiendo el concepto se puede aplicar en cualquier situación por diversa que sea.
Las relaciones entre dos o más conjuntos son frecuentes tanto en las Matemáticas como en sus aplicaciones, especialmente en Informática. Ejemplos prácticos de relaciones son las de orden y divisibilidad entre números, las relaciones de equivalencia entre los datos de entrada de un programa en cuanto a la detección de posibles errores de programación (validación de programas), la relación de dependencia entre las distintas fases de producción en una industria o la agrupación de datos aislados en complejas bases de datos con relaciones de dependencia entre sus campos. Desde el punto de vista matemático, estas relaciones se pueden describir simplemente como subconjuntos de un cierto producto cartesiano.
Jose Ignacio Farran Martin. (2003-07-16). Relaciones. 2003-07-16, de wmatem Sitio web: http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Relaciones/relaciones/node2.html
Universidad de Valencia. Teoria de conjuntos. De Universidad de Valencia Sitio web: https://www.uv.es/~jkliment/Documentos/SetTheory.pc.pdf
rezzaca. (21/02/2010). Relaciones Introducción. De SlideShare Sitio web: https://es.slideshare.net/rezzaca/relaciones-introduccin
EJERCICIOS DE CONJUNTOS
Ejercicio 1.- En los ejercicios 1 al 16, establezca el universo como el conjunto U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Sea A= {1, 4, 7, 10}, B= {1, 2, 3, 4, 5} y C= {2, 4, 6, 8}.
Liste los elementos de cada conjunto:
Ejercicio 3.- En la biblioteca existen 103 libros de ciencias de la computación que tratan en cierta medida de los siguientes temas:
- Compiladores.
- Estructura de datos.
- Redes.
Del total, 50 libros tienen información sobre compiladores, 54 sobre estructura de datos, 51 sobre redes, 30 sobre compiladores y estructura de datos, 32 sobre compiladores y redes, 35 sobre estructura de datos y redes y 19 sobre los 3 temas.
a) ¿Cuántos libros contiene material exactamente sobre uno de los tres temas?
18
b) ¿Cuántos no tienen material de redes?
26
c) ¿Cuántos no tienen material sobre ninguno de los temas?
26
d) ¿Cuántos libros contiene material de compiladores y redes pero no de estructura de datos?
13
Ejercicio 4.- Poner en el paréntesis de cada uno de los incisos una “V” si la aseveración es verdadera o bien una “F” si es falsa.
EJERCICIOS DE RELACIONES
En los ejercicios 1 al 4, escriba la relacion como un conjunto de pares ordenados.
1.
R= {(8840, Martillo), (9921, Tenazas), (452, Pintura), (2207, Alfombra)}
2.
R= {(a, 3), (b, 1), (b, 4), (c, 1)}
3.
R= {(Susana, Matemáticas), (Ruth, Física), (Samuel, Economía)}
4.
R= {(a, a), (b, b)}
En los ejercicios 5 al 8, escriba la relación como tabla.
5. R= {(a, 6), (b, 2), (a, 1), (c, 1)}
6. R= {(Rogelio, Música), (Patricia, Historia), (Benjamín, Matemáticas), (Patricia, Ciencias Políticas)}
7. La relación R en {1, 2, 3, 4} definida por (x, y) ∈ R si x2 ≥ y.
8. La relación R del conjunto X de planetas al conjunto Y de enteros definida por (x, y) ∈ R si x está en la posición y respecto al sol (el más cercano al sol está en la posición 1, el segundo más cercano al sol está en la posición 2, y así sucesivamente).
En los ejercicios 9 al 12, dibuje la digráfica de la relación.
9. La relación del ejercicio 4 en {a, b, c}
10. La relación R= {(1, 2), (2, 1), (3, 3), (1, 1), (2, 2)} sobre X= {1, 2, 3}
12. La relación del ejercicio 7.
En los ejercicios 13 al 16, escriba la relación como un conjunto de pares ordenados.
13.
R= {(a, b), (b, a), (b, d), (c, d), (c, c), (a, c)}
14.
R= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5,5), (4, 3), (3, 5), (5, 4)}
15.
R= { }
16.
R= {(b, c), (c, b), (d, d)}
Comentarios
Publicar un comentario